В правильной треугольной пирамиде проведено сечение плоскостью, проходящей через боковое ребро и апофему противолежащей этому ребру боковой грани. Двугранный угол при ребре основания пирамиды равен 45°, а радиус окружности, описанной около сечения, равен 
Найдите объем пирамиды.
По теореме синусов в треугольнике MSB:
Угол SHB — прямой, так как угол SMH равен 45°, угол MSH также равен 45°, следовательно, треугольник MSH — равнобедренный, MH = SH. По свойству правильной треугольной пирамиды, BH : MH = 2 : 1, следовательно, BH : SH = 2 : 1. Пусть SH = x, тогда по теореме Пифагора в треугольнике SHB:
Таким образом, 
отсюда 
В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC, его внутренние углы равны 60°. Угол AMB — прямой, угол ABM равен 30°, следовательно, 
Пусть AM = a, тогда по теореме Пифагора в треугольнике ABM:
Таким образом, 
Найдем площадь треугольника ABC:
Найдем объем пирамиды SABC:
Правильный ответ указан под номером 4.